Əgər A m × n matrisidirsə, o zaman ATA və AAT eyni sıfırdan fərqli özəl qiymətlərə malikdir … Buna görə də Ax AAT-ın λ xüsusi dəyərinə uyğun olan xüsusi vektorudur. Analoji arqumentdən AAT-ın sıfırdan fərqli hər bir xüsusi dəyərinin ATA-nın xüsusi dəyəri olduğunu göstərmək üçün istifadə edilə bilər, beləliklə, sübut tamamlanır.
AAT və ATA-nın özəl dəyərləri eynidirmi?
AAT və ATA matrisləri eyni sıfırdan fərqli özəl qiymətlərə malikdir. Bölmə 6.5 göstərdi ki, bu simmetrik matrislərin xüsusi vektorları ortoqonaldır.
ATA AAT ilə eynidir?
AAT və ATA real simmetrik olduğundan, onları ortoqonal matrislərlə diaqonallaşdırmaq olar. Əvvəlki ifadədən belə çıxır (həndəsi və cəbri çoxluqlar üst-üstə düşdüyü üçün) AAT və ATA eyni xüsusi qiymətlərə malikdir.
ATA-nın fərqli özəl dəyərləri varmı?
Düzdür. Məsələn, A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 olarsa, det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 xarakterik tənliyinin təkrar kökü yoxdur. Beləliklə, A-nın bütün xüsusi qiymətləri fərqlidir və A diaqonallaşdırıla bilər. 3.35 İstənilən real A matrisi üçün AtA həmişə diaqonallaşdırıla bilər.
Müxtəlif məxsusi vektorlar eyni xüsusi dəyərə malik ola bilərmi?
Eyni Xüsusi dəyərə uyğun gələn iki fərqli məxs vektor həmişə xətti asılıdır. Eyni Xüsusi dəyərə uyğun gələn iki fərqli xüsusi vektor həmişə xətti asılıdır.
